参考系变换

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PM同步电机显示出非常复杂且随时间变化的电压方程。

通过将定子量指向与转子同步的参考系的变量集，可以降低这些方程的复杂度。

这种策略通常被称为参考框架理论[1]。

假设 \（f_{ax}\）、\（f_{bx}\）、\（f_{cx}\） 是沿轴方向的三相瞬时量，每个相相瞬时量位移 120 度，其中 \（x\） 可以替换为 s 或 r 以处理定子或转子量（见下图）;假设 \（f_{qx}\）、\（f_{dx}\）、\（f_{0x}\） 是它们的变换，沿彼此正交的路径方向前进;将变换到参考系（以任意角速度ω旋转）的方程可以表示为：

$$ f_{Qd0X} = \左[\begin{Matrix} f_{qx} \\ f_{dx} \\ f_{0x} \end{matrix}\right] = \frac 23\cdot\left[\bestart{matrix} \cos\theta & \cos\left（\theta-\frac{2\pi}{3}\right） & \cos\left（\theta+\frac{2） \pi}{3}\right） \\ \sin\theta 和 \sin\left（\theta-\frac{2\pi}{3}\right） & \sin\left（\theta+\frac{2\pi}{3}\right） \\frac12 & \frac12 \frac12 \end{matrix}\right] \cdot \left[\begin{matrix}f_{ax}\\f_{BX}\\f_{CX}\end{Matrix}\right] $$

其中\（θ\）是观测时（q， d）参考系的角位移，\（θ_0\）为该位移在\（t=0\）：

从ABC静止系变换到旋转系（q， d）

通过克拉克变换，定子电流\（i_{as}\）和\（i_{bs}\）（沿各位移120度的轴）被解析为静止参考系（α β）上的电流\（i_α\）和\（i_β\）。

对上述一般方程进行适当代入可得：

$$i_\alpha = i_{as}$$ $$i_\beta = \frac{i_{as}+2i_{bs}}{\sqrt 3}$$

在朴变量变换中，定子电流\（i_α\）和\（i_β\）属于一个固定参考系（α β），被解析到与转子同步的参考系，并且方向使d轴与永磁铁的磁通量对齐，从而获得iqs和id。

因此，采用这一指称，我们得到：

$$i_{qs} = i_α\cos\theta_r - i_β\sin\theta_r$$ $$i_{ds} = i_α\sin\theta_r + i_β\cos\theta_r$$

另一方面，逆向停顿变换则将属于与转子同步且正确定向的旋转框架中的定子电压\（v_q\）和\（v_d\）回归到一个静止的参考系，从而得到\（v_α\）和\（v_β\）：

$$v_α = v_{qs}\cos\theta_r + v_{ds}\sin\theta_r$$ $$v_β = -v_{qs}\sin\theta_r + v_{ds}\cos\theta_r$$

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